First-Order 冰盖模型通常指 Blatter-Pattyn (BP) 模型，也常被称为 higher-order 模型。它介于浅冰近似 (Shallow Ice Approximation, SIA) 和全 Stokes (Full-Stokes, FS) 模型之间：比 SIA 保留更多应力项，但又不像全 Stokes 那样同时求解三维速度和压力。

它的主要特点是：

• 保留水平膜应力 (membrane stresses)；
• 保留垂向剪切应力；
• 竖直总法向应力采用静水平衡近似；
• 只求解水平速度分量 $u$ 和 $v$。

需要先澄清一点：FO 不是二维模型。未知量虽然只有

$$u(x,y,z), \qquad v(x,y,z),$$

但它们仍然定义在三维冰体内，并依赖 $x,y,z$ 三个空间变量。垂向速度 $w$ 不作为主未知量求解，而是由不可压缩条件恢复。

下面用下标表示偏导数，例如 $u_x=\partial u/\partial x$。

从 Full-Stokes 出发

设三维速度为

$$\boldsymbol u=(u,v,w).$$

不可压缩条件为

$$\nabla\cdot \boldsymbol u=0,$$

即

$$u_x+v_y+w_z=0.$$

动量守恒写成

$$\nabla\cdot\boldsymbol\sigma+\rho\boldsymbol g=0.$$

总应力分解为

$$\boldsymbol\sigma=-pI+\boldsymbol\tau,$$

其中 $p$ 是压力，$\boldsymbol\tau$ 是偏应力张量。冰的本构关系采用 Glen 流动定律：

$$\boldsymbol\tau = 2\eta\dot{\boldsymbol\varepsilon},$$

其中

$$\eta = \frac12 A^{-1/n} \dot\varepsilon_e^{(1-n)/n}, \qquad n\approx 3.$$

Glen 定律和有效黏度的不同写法见 Glen 流动定律，应变率不变量的定义见 应变率第二不变量。

在 $z$ 轴竖直向上、重力向下的约定下，全 Stokes 动量方程的分量形式为

$$\begin{aligned} -p_x+\tau_{xx,x}+\tau_{xy,y}+\tau_{xz,z}&=0,\\ -p_y+\tau_{xy,x}+\tau_{yy,y}+\tau_{yz,z}&=0,\\ -p_z+\tau_{xz,x}+\tau_{yz,y}+\tau_{zz,z}-\rho g&=0. \end{aligned}$$

FO 模型就是从这组方程出发，通过浅长比近似去掉一部分高阶项。

浅长比近似

冰盖的垂向厚度 $H$ 通常远小于水平尺度 $L$。记浅长比为

$$\varepsilon=\frac{H}{L}\ll 1.$$

取尺度

$$x,y\sim L, \qquad z\sim H,$$

则

$$\partial_x,\partial_y\sim\frac1L, \qquad \partial_z\sim\frac1H = \frac1{\varepsilon L}.$$

由不可压缩条件

$$u_x+v_y+w_z=0$$

可知垂向速度尺度满足

$$W\sim\varepsilon U.$$

也就是说，$w$ 比水平速度小一个量级。进一步地，

$$w_x,\ w_y\sim \frac{\varepsilon U}{L},$$

而

$$u_z,\ v_z\sim \frac{U}{\varepsilon L}.$$

因此剪切应变中的 $w_x,w_y$ 相对较小，可以近似为

$$\dot\varepsilon_{xz} = \frac12(u_z+w_x) \approx \frac12u_z,$$

$$\dot\varepsilon_{yz} = \frac12(v_z+w_y) \approx \frac12v_z.$$

于是

$$\tau_{xz}\approx\eta u_z, \qquad \tau_{yz}\approx\eta v_z.$$

这一步保留了垂向剪切，但忽略了垂向速度水平导数对剪切应变的贡献。

竖直静水平衡和水平动量方程

垂向动量方程为

$$-p_z +\tau_{xz,x} +\tau_{yz,y} +\tau_{zz,z} -\rho g =0.$$

在 FO 近似中，垂向动量方程中的水平导数项被看作高阶小量，因此保留竖直总法向应力的主导平衡

$$\frac{\partial}{\partial z} \left( -p+\tau_{zz} \right) -\rho g =0.$$

若上表面高度为 $s(x,y)$，并取自由面法向应力为零，则

$$-p+\tau_{zz} = -\rho g(s-z).$$

因此这里严格得到的是竖直总应力的静水平衡，而不是单纯的 $p=\rho g(s-z)$。由上式可写

$$p = \rho g(s-z)+\tau_{zz}.$$

因此水平压力梯度为

$$p_x=\rho g s_x+\tau_{zz,x}, \qquad p_y=\rho g s_y+\tau_{zz,y}.$$

把它代回 $x,y$ 两个水平动量方程，就会出现 $\tau_{zz}$ 的水平导数项。将这些项移到左边后，FO 方程通常写成只含偏应力组合的形式：

$$\frac{\partial}{\partial x} \left( \tau_{xx}-\tau_{zz} \right) +\tau_{xy,y} +\tau_{xz,z} = \rho g s_x,$$

$$\frac{\partial}{\partial y} \left( \tau_{yy}-\tau_{zz} \right) + \tau_{xy,x} +\tau_{yz,z} = \rho g s_y.$$

这里的 $\tau_{xx}-\tau_{zz}$ 和 $\tau_{yy}-\tau_{zz}$ 是水平膜应力组合。为了只用 $u,v$ 表示它们，还要用不可压缩条件消去 $w_z$。因为

$$w_z=-(u_x+v_y),$$

所以

$$\tau_{zz} = 2\eta w_z = -2\eta(u_x+v_y).$$

由此得到

$$\tau_{xx}-\tau_{zz} = 4\eta u_x+2\eta v_y,$$

$$\tau_{yy}-\tau_{zz} = 2\eta u_x+4\eta v_y.$$

这些组合就是 FO 方程中水平膜应力项的来源。

Blatter-Pattyn 方程

将

$$\tau_{xy}=\eta(u_y+v_x), \qquad \tau_{xz}\approx\eta u_z, \qquad \tau_{yz}\approx\eta v_z$$

也代入水平动量方程，最终得到 FO/BP 方程。它是一个关于水平速度 $u,v$ 的三维椭圆系统：

$$\frac{\partial}{\partial x} \left( 4\eta u_x+2\eta v_y \right) + \frac{\partial}{\partial y} \left( \eta(u_y+v_x) \right) + \frac{\partial}{\partial z} \left( \eta u_z \right) = \rho g s_x,$$

$$\frac{\partial}{\partial y} \left( 4\eta v_y+2\eta u_x \right) + \frac{\partial}{\partial x} \left( \eta(u_y+v_x) \right) + \frac{\partial}{\partial z} \left( \eta v_z \right) = \rho g s_y.$$

这里的未知量仍是

$$u(x,y,z), \qquad v(x,y,z).$$

黏度 $\eta$ 依赖速度梯度，因此当使用 Glen 指数 $n>1$ 时，FO 方程仍然是非线性的。

在 FO 近似下，Glen 黏度中的应变率强度可由 $u,v$ 表示。按照

$$\dot\varepsilon_\text{II} = \dot\varepsilon_{xx}^2 +\dot\varepsilon_{yy}^2 +\dot\varepsilon_{xx}\dot\varepsilon_{yy} +\dot\varepsilon_{xy}^2 +\dot\varepsilon_{xz}^2 +\dot\varepsilon_{yz}^2$$

并代入

$$\dot\varepsilon_{xx}=u_x, \qquad \dot\varepsilon_{yy}=v_y, \qquad \dot\varepsilon_{xy}=\frac12(u_y+v_x),$$

$$\dot\varepsilon_{xz}\approx\frac12u_z, \qquad \dot\varepsilon_{yz}\approx\frac12v_z,$$

可得

$$\dot\varepsilon_\text{II} = u_x^2 +v_y^2 +u_xv_y +\frac14(u_y+v_x)^2 +\frac14u_z^2 +\frac14v_z^2.$$

因此这里的 $\eta$ 虽然仍是非线性系数，但不需要独立的 $w$ 或 $p$ 来计算。

垂向速度可以在求得 $u,v$ 后由不可压缩条件诊断出来。若冰床高度为 $b(x,y)$，并已知床面处的垂向速度 $w_b$，则

$$w(z) = w_b - \int_b^z (u_x+v_y)\,dz'.$$

因此，$w$ 是诊断变量，而不是 FO 方程的主未知量。

上面的方程只是 FO 模型的体方程。真正形成一个闭合的边值问题，还需要给定上表面应力条件、冰床滑移或无滑移条件，以及侧边界条件。本文只整理从 Full-Stokes 到 BP 体方程的近似过程。

FO 保留和忽略了什么

FO 模型保留的核心物理是：

• 水平膜应力；
• 垂向剪切应力；
• 三维空间中变化的水平速度；
• Glen 非线性黏度。

它主要忽略两类效应。第一类是剪切应变中来自垂向速度水平导数的项：

$$\dot\varepsilon_{xz} = \frac12(u_z+w_x) \approx \frac12u_z,$$

$$\dot\varepsilon_{yz} = \frac12(v_z+w_y) \approx \frac12v_z.$$

第二类是垂向动量方程中的非静水修正。更准确地说，FO 保留的是竖直总法向应力的静水平衡：

$$-p+\tau_{zz} = -\rho g(s-z).$$

这使 FO 比全 Stokes 便宜，但又比 SIA 能描述更多横向和纵向应力耦合。

总结

模型	主要求解量	空间维数	膜应力
SIA	$u,v,w$ 或厚度演化中的诊断速度	3D 诊断	不保留
SSA	$u,v$	2D	保留
FO/BP	$u,v$	3D	保留
Full-Stokes	$u,v,w,p$	3D	保留

简单说，SIA 更强调局部垂向剪切，SSA 更强调水平膜应力，FO 同时保留膜应力和垂向剪切，但仍使用竖直静水平衡近似。

First-Order Blatter-Pattyn 模型可以理解为从 Full-Stokes 方程出发、利用浅长比

$$\varepsilon=\frac{H}{L}\ll1$$

得到的三维高阶冰流模型。它保留膜应力和垂向剪切应力，采用竖直静水平衡近似，最终得到只含 $u,v$ 的三维椭圆系统。

因此 FO 的重点不是“把三维问题变成二维问题”，而是把全 Stokes 中最昂贵的一部分变量和非静水平衡去掉，同时保留对大尺度冰盖流动很重要的应力耦合。

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