张量是线性代数和几何分析中用来描述多方向、多分量关系的基本对象。标量、向量和矩阵都可以看作张量的特殊情形；更高阶的张量则可以表示更复杂的线性关系，例如二阶张量之间的线性映射、材料本构关系中的弹性张量，或坐标变换下保持几何意义不变的物理量。

从计算角度看，张量常被写成带有多个指标的分量数组，例如 $v_i$、$A_{ij}$、$C_{ijkl}$。这些分量依赖于所选坐标系，但张量本身表示的几何或物理对象并不依赖坐标。理解张量的关键，就是同时区分“对象本身”和“在某个坐标系下的分量表示”。

从标量、向量、矩阵说起

最简单的对象是标量，比如温度、密度、压力：

$$a\in\mathbb R.$$

标量通常称为零阶张量。

向量有一个指标：

$$v_i.$$

在二维里可以写成

$$\boldsymbol v=(v_1,v_2)^T.$$

向量通常称为一阶张量。

矩阵有两个指标：

$$A_{ij}.$$

它可以表示一个线性映射：

$$y_i=A_{ij}x_j.$$

矩阵通常称为二阶张量。

继续往上，四阶张量有四个指标：

$$C_{ijkl}.$$

它可以表示二阶张量到二阶张量的线性映射：

$$B_{ij}=C_{ijkl}A_{kl}.$$

所以先建立一个简单类比：

对象	分量形式	阶数	常见作用
标量	$a$	0	数值
向量	$v_i$	1	方向量
矩阵	$A_{ij}$	2	向量到向量的线性映射
四阶张量	$C_{ijkl}$	4	二阶张量到二阶张量的线性映射

这个表不是张量的全部定义，但足够理解很多有限元和连续介质力学里的公式。

阶数和维数

在张量理论里，一个很常见的混淆是把“几阶张量”和“几维空间”混在一起。

它们说的是两件事：

• 张量的阶数，指一个张量需要几个指标来描述；
• 空间的维数，指每个指标可以取多少个值。

例如在二维空间中，向量是一阶张量：

$$v_i,\qquad i=1,2.$$

它的阶数是 1，因为只有一个指标 $i$；它所在空间的维数是 2，因为 $i$ 可以取两个值。

在三维空间中，向量仍然是一阶张量：

$$v_i,\qquad i=1,2,3.$$

它的阶数仍然是 1，但空间维数变成 3。

矩阵或二阶张量有两个指标：

$$A_{ij}.$$

如果空间是二维的，那么

$$i,j\in\{1,2\},$$

所以它有 $2^2=4$ 个分量。如果空间是三维的，那么

$$i,j\in\{1,2,3\},$$

所以它有 $3^2=9$ 个分量。

四阶张量有四个指标：

$$C_{ijkl}.$$

在二维空间里，它有

$$2^4=16$$

个分量；在三维空间里，它有

$$3^4=81$$

个分量。

所以：

四阶张量不是“四维空间里的张量”，而是“有四个指标的张量”。

一般地，在 $d$ 维空间中，一个 $m$ 阶张量有 $d^m$ 个分量。当然，如果张量有对称性，独立分量会更少。例如二维对称矩阵虽然形式上有 $2^2=4$ 个分量，但由于

$$A_{12}=A_{21},$$

独立分量只有 3 个。

Einstein 求和约定

张量公式里经常省略求和号。规则是：

一个指标在同一项中重复出现两次，就默认对它求和。

例如

$$y_i=A_{ij}x_j$$

表示

$$y_i=\sum_j A_{ij}x_j.$$

再比如二阶张量双点积

$$A_{ij}B_{ij}$$

表示

$$\sum_i\sum_j A_{ij}B_{ij}.$$

这种记号的好处是公式非常紧凑；坏处是第一次读时必须不断检查哪些指标是自由指标，哪些指标是求和指标。

自由指标和哑指标

看公式

$$y_i=A_{ij}x_j.$$

这里 $i$ 只出现一次，所以它是自由指标。自由指标决定结果的形状：因为左边有 $i$，所以结果是一个向量。

$j$ 出现两次，所以它是哑指标，也叫求和指标。

再看

$$B_{ij}=C_{ijkl}A_{kl}.$$

这里：

• $i,j$ 是自由指标，所以结果 $B$ 是二阶张量；
• $k,l$ 是哑指标，所以对 $k,l$ 求和。

理解自由指标和哑指标，是读懂张量公式的第一步。

张量积

两个向量 $\boldsymbol a,\boldsymbol b$ 的张量积是一个二阶张量：

$$(\boldsymbol a\otimes\boldsymbol b)_{ij} = a_i b_j.$$

如果

$$\boldsymbol a= \begin{bmatrix} a_1\\a_2 \end{bmatrix}, \qquad \boldsymbol b= \begin{bmatrix} b_1\\b_2 \end{bmatrix},$$

那么

$$\boldsymbol a\otimes\boldsymbol b = \begin{bmatrix} a_1b_1 & a_1b_2\\ a_2b_1 & a_2b_2 \end{bmatrix}.$$

注意它不是点积。点积会得到一个标量：

$$\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=a_i b_i.$$

张量积会得到一个矩阵：

$$\boldsymbol a\otimes\boldsymbol b.$$

在几何里，如果 $\boldsymbol n$ 是单位法向量，那么

$$\boldsymbol n\otimes\boldsymbol n$$

表示法向投影，因为

$$(\boldsymbol n\otimes\boldsymbol n)\boldsymbol v = \boldsymbol n(\boldsymbol n\cdot\boldsymbol v).$$

对应的切向投影是

$$\boldsymbol T=\boldsymbol I-\boldsymbol n\otimes\boldsymbol n.$$

这在边界条件、接触问题和滑移边界里非常常见。

缩并

缩并就是对一对指标求和，从而降低张量阶数。

点积是最简单的缩并：

$$\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=a_i b_i.$$

两个一阶张量通过一个重复指标缩并，得到零阶张量，也就是标量。

矩阵乘向量也是缩并：

$$y_i=A_{ij}x_j.$$

二阶张量 $A_{ij}$ 和一阶张量 $x_j$ 对 $j$ 缩并，得到一阶张量 $y_i$。

矩阵乘矩阵也是缩并：

$$C_{ij}=A_{ik}B_{kj}.$$

这里对 $k$ 缩并，结果仍是二阶张量。

迹也是缩并：

$$\operatorname{tr}A=A_{ii}.$$

对同一个二阶张量的两个指标求和，得到标量。

所以“缩并”并不神秘，它就是张量版本的求和乘法。

二阶张量的双点积

两个二阶张量的双点积定义为

$$\boldsymbol A:\boldsymbol B = A_{ij}B_{ij}.$$

这就是把两个矩阵按分量相乘再求和，也就是 Frobenius 内积。

特别地，

$$\boldsymbol A:\boldsymbol A = \sum_{i,j}A_{ij}^2.$$

所以

$$\|\boldsymbol A\|_F = \sqrt{\boldsymbol A:\boldsymbol A}$$

就是 Frobenius 范数。

在连续介质力学里，应变率张量常记为

$$\dot{\boldsymbol\varepsilon}_{\boldsymbol u} = \frac12 \left( \nabla\boldsymbol u+\nabla\boldsymbol u^T \right).$$

应变率第二不变量常写成

$$\varepsilon_{\rm II} = \frac12 \dot{\boldsymbol\varepsilon}_{\boldsymbol u} : \dot{\boldsymbol\varepsilon}_{\boldsymbol u}.$$

这里的冒号就是二阶张量双点积。

四阶张量与二阶张量的双点积

四阶张量 $\mathbb C$ 和二阶张量 $\boldsymbol A$ 的双点积定义为

$$(\mathbb C:\boldsymbol A)_{ij} = C_{ijkl}A_{kl}.$$

它对 $k,l$ 求和，剩下 $i,j$，所以结果是一个二阶张量。

二维中，例如

$$(\mathbb C:\boldsymbol A)_{11} = C_{1111}A_{11} + C_{1112}A_{12} + C_{1121}A_{21} + C_{1122}A_{22}.$$

这和矩阵乘向量很像：

$$(Ax)_i=A_{ij}x_j.$$

区别只是输入对象从一阶张量 $x_j$ 换成了二阶张量 $A_{kl}$，所以表示线性映射的对象也从二阶张量 $A_{ij}$ 换成了四阶张量 $C_{ijkl}$。

四阶张量为什么常出现在力学里

很多力学模型里，应力和应变都是二阶张量：

$$\boldsymbol\sigma, \qquad \boldsymbol\varepsilon.$$

如果材料是线弹性的，应力对应变是线性的：

$$\boldsymbol\sigma = \mathbb C:\boldsymbol\varepsilon.$$

这里 $\mathbb C$ 就是弹性张量。它必须是四阶张量，因为它要把一个二阶张量 $\boldsymbol\varepsilon$ 映射成另一个二阶张量 $\boldsymbol\sigma$。

各向同性线弹性里，常见公式是

$$\boldsymbol\sigma = 2\mu\boldsymbol\varepsilon + \lambda(\operatorname{tr}\boldsymbol\varepsilon)\boldsymbol I.$$

这个公式也可以写成

$$\sigma_{ij} = C_{ijkl}\varepsilon_{kl},$$

其中

$$C_{ijkl} = \lambda\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu \left( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \right).$$

所以四阶张量不是为了制造复杂性，而是因为“二阶张量到二阶张量的线性映射”自然需要四个指标。

转置：交换输入和输出指标

矩阵转置满足

$$(A\boldsymbol x)\cdot\boldsymbol y = \boldsymbol x\cdot(A^T\boldsymbol y).$$

四阶张量的转置也类似。把 $\mathbb C$ 看成二阶张量空间上的线性算子，它的转置 $\mathbb C^T$ 由

$$(\mathbb C:\boldsymbol A):\boldsymbol B = \boldsymbol A:(\mathbb C^T:\boldsymbol B)$$

定义。

用分量写，如果

$$(\mathbb C:\boldsymbol A)_{ij} = C_{ijkl}A_{kl},$$

那么

$$C^T_{ijkl}=C_{klij}.$$

也就是说，四阶张量转置不是只交换两个指标，而是交换两对指标：

$$(i,j)\leftrightarrow(k,l).$$

这里 $(i,j)$ 可以看成输出指标对，$(k,l)$ 可以看成输入指标对。转置就是交换输入和输出。

张量场的散度和分部积分

在弱形式、有限元和伴随推导中，经常需要把导数从一个向量场转移到另一个张量场上。最常用的公式是

$$\int_\Omega \nabla\boldsymbol u:\boldsymbol M\,dx = -\int_\Omega (\nabla\cdot\boldsymbol M)\cdot\boldsymbol u\,dx + \int_{\partial\Omega} (\boldsymbol M\boldsymbol n)\cdot\boldsymbol u\,ds.$$

这里 $\boldsymbol u$ 是向量场，$\boldsymbol M$ 是二阶张量场，$\boldsymbol n$ 是边界外法向量。张量场的散度定义为

$$(\nabla\cdot\boldsymbol M)_i = \partial_jM_{ij}.$$

这个公式本质上就是逐分量的一维分部积分或散度定理。因为

$$\nabla\boldsymbol u:\boldsymbol M = \partial_j u_i\,M_{ij},$$

所以

$$\int_\Omega \partial_j u_i\,M_{ij}\,dx = -\int_\Omega u_i\,\partial_jM_{ij}\,dx + \int_{\partial\Omega} u_iM_{ij}n_j\,ds.$$

把右边写回向量和张量记号，就得到

$$-\int_\Omega u_i\,\partial_jM_{ij}\,dx = -\int_\Omega (\nabla\cdot\boldsymbol M)\cdot\boldsymbol u\,dx,$$

以及

$$\int_{\partial\Omega} u_iM_{ij}n_j\,ds = \int_{\partial\Omega} (\boldsymbol M\boldsymbol n)\cdot\boldsymbol u\,ds.$$

在应变率形式中，常出现

$$\dot{\boldsymbol\varepsilon}_{\boldsymbol u} = \frac12 \left( \nabla\boldsymbol u+\nabla\boldsymbol u^T \right).$$

如果 $\boldsymbol M$ 是对称张量，即 $\boldsymbol M^T=\boldsymbol M$，那么

$$\dot{\boldsymbol\varepsilon}_{\boldsymbol u}:\boldsymbol M = \nabla\boldsymbol u:\boldsymbol M.$$

原因是

$$\nabla\boldsymbol u = \dot{\boldsymbol\varepsilon}_{\boldsymbol u} + \boldsymbol\omega_{\boldsymbol u}, \qquad \boldsymbol\omega_{\boldsymbol u} = \frac12 \left( \nabla\boldsymbol u-\nabla\boldsymbol u^T \right),$$

其中 $\boldsymbol\omega_{\boldsymbol u}$ 是反对称张量。任意对称张量 $\boldsymbol S$ 和反对称张量 $\boldsymbol W$ 满足

$$\boldsymbol S:\boldsymbol W=0,$$

因为

$$S_{ij}W_{ij} = S_{ji}W_{ji} = S_{ij}(-W_{ij}) = -S_{ij}W_{ij}.$$

所以当 $\boldsymbol M$ 对称时，应变率版本的分部积分为

$$\int_\Omega \dot{\boldsymbol\varepsilon}_{\boldsymbol u}:\boldsymbol M\,dx = -\int_\Omega (\nabla\cdot\boldsymbol M)\cdot\boldsymbol u\,dx + \int_{\partial\Omega} (\boldsymbol M\boldsymbol n)\cdot\boldsymbol u\,ds.$$

这个公式在 Stokes、线弹性和伴随方程推导中很常见。它的作用是把 $\boldsymbol u$ 上的导数转移到张量场 $\boldsymbol M$ 上，从而把体积分写成

$$\int_\Omega \text{某个系数}\cdot\boldsymbol u\,dx$$

的形式。若 $\boldsymbol u$ 是任意测试方向，就可以令这个系数为零，读出对应的强形式方程；边界项 $(\boldsymbol M\boldsymbol n)$ 则对应自然边界条件中的牵引项。

对称性：minor symmetry 和 major symmetry

四阶张量里常见两类对称性。

第一类是小对称性，通常叫 minor symmetry：

$$C_{ijkl}=C_{jikl}, \qquad C_{ijkl}=C_{ijlk}.$$

它表示在输出指标对内部交换，或在输入指标对内部交换，张量不变。这通常和应力、应变张量本身的对称性有关。

第二类是大对称性，通常叫 major symmetry：

$$C_{ijkl}=C_{klij}.$$

它表示交换输入指标对和输出指标对后不变。换句话说，

$$\mathbb C^T=\mathbb C.$$

在线弹性里，如果材料关系来自一个弹性能量密度，那么弹性张量通常具有 major symmetry。类似地，在一些非线性问题的一致切线中，如果线性化来自某个标量势函数的二阶导数，也会得到对称切线。

协变和逆变的一点说明

在欧氏空间、正交坐标、笛卡尔基下，很多科学计算公式不会区分上指标和下指标。我们常直接写

$$v_i,\qquad A_{ij}.$$

但在一般曲线坐标或微分几何里，需要区分：

• 逆变分量：$v^i$；
• 协变分量：$v_i$。

它们通过度量张量联系：

$$v_i=g_{ij}v^j, \qquad v^i=g^{ij}v_j.$$

这里 $g_{ij}$ 是度量张量，$g^{ij}$ 是它的逆。所谓“升降指标”，就是用度量把上指标和下指标相互转换。

很多有限元和连续介质力学教材在欧氏直角坐标中会省略这些区别。这不是因为它们不存在，而是因为在这种坐标下度量就是单位矩阵，升降指标不会改变分量。

总结

张量可以从两个层面理解。

从计算层面看，张量是带多个指标的数组，并且可以通过指标缩并表示点积、矩阵乘法、双点积和更高阶线性映射。

从几何层面看，张量是坐标无关的对象；分量会随着坐标系改变，但对象本身不变。

对有限元和连续介质力学来说，最常用的理解是：

• 向量是一阶张量；
• 矩阵是二阶张量；
• 应力、应变、应变率是二阶张量；
• 二阶张量之间的线性本构关系通常由四阶张量表示；
• 双点积就是对两对指标求和；
• 四阶张量转置就是交换输入指标对和输出指标对。

只要抓住“自由指标决定输出，重复指标表示求和”这一条，大多数张量公式就可以逐项读出来。

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版权归属：Guisong Wu

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