Glen 流动定律把有效黏度写成应变率强度的函数，因此需要先从应变率张量 构造一个与坐标方向无关的标量。本文集中说明应变率第二不变量的定义、 坐标不变性和符号约定；Glen 定律及其黏度正则化见 Glen 流动定律。

应变率第二不变量

对于速度场 $\boldsymbol{u}$，应变率张量定义为

$$\dot{\boldsymbol{\varepsilon}} = \frac12 \left( \nabla\boldsymbol{u} + \nabla\boldsymbol{u}^{T} \right).$$

Glen 黏度使用的标量为

$$\dot{\varepsilon}_\text{II} = \frac12 \dot{\boldsymbol{\varepsilon}} : \dot{\boldsymbol{\varepsilon}} = \frac12 \operatorname{tr} \left( \dot{\boldsymbol{\varepsilon}}^2 \right).$$

$\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}$ 是二阶张量，而 $\dot{\varepsilon}_\text{II}$ 是由它构造出的非负标量。

在三维 $x$--$y$--$z$ 空间中，

$$\dot{\varepsilon}_\text{II} = \frac12 \left( \dot{\varepsilon}_{xx}^2 +\dot{\varepsilon}_{yy}^2 +\dot{\varepsilon}_{zz}^2 +2\dot{\varepsilon}_{xy}^2 +2\dot{\varepsilon}_{xz}^2 +2\dot{\varepsilon}_{yz}^2 \right).$$

对于三维不可压缩流，

$$\dot{\varepsilon}_{xx} +\dot{\varepsilon}_{yy} +\dot{\varepsilon}_{zz} =0.$$

消去 $\dot{\varepsilon}_{zz}$ 后可得

$$\dot{\varepsilon}_\text{II} = \dot{\varepsilon}_{xx}^2 +\dot{\varepsilon}_{yy}^2 +\dot{\varepsilon}_{xx}\dot{\varepsilon}_{yy} +\dot{\varepsilon}_{xy}^2 +\dot{\varepsilon}_{xz}^2 +\dot{\varepsilon}_{yz}^2.$$

在二维 $x$--$z$ 截面上，只保留 $x$ 和 $z$ 方向的分量，因此

$$\dot{\varepsilon}_\text{II} = \frac12 \left( \dot{\varepsilon}_{xx}^2 +\dot{\varepsilon}_{zz}^2 +2\dot{\varepsilon}_{xz}^2 \right).$$

对于二维不可压缩流，

$$\dot{\varepsilon}_{xx}+\dot{\varepsilon}_{zz}=0,$$

因此

$$\dot{\varepsilon}_\text{II} = \dot{\varepsilon}_{xx}^2 +\dot{\varepsilon}_{xz}^2.$$

为什么称为不变量

应变率张量的各个分量依赖坐标系。旋转坐标轴后，原来的法向分量和剪切 分量通常会相互混合，因此 $\dot{\varepsilon}_{xx}$、$\dot{\varepsilon}_{xy}$ 等分量一般都会改变。 但是，这些分量描述的是同一个物理变形状态；仅仅旋转观察方向，不应该 改变材料实际变形的强弱。

设新旧坐标系之间的旋转矩阵为 $\boldsymbol{Q}$。它是正交矩阵，满足

$$\boldsymbol{Q}^{T}\boldsymbol{Q} = \boldsymbol{Q}\boldsymbol{Q}^{T} = \boldsymbol{I}.$$

应变率张量在新坐标系中的分量为

$$\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}' = \boldsymbol{Q} \dot{\boldsymbol{\varepsilon}} \boldsymbol{Q}^{T},$$

其中撇号只表示坐标分量发生了变化，并不表示物理速度场发生了变化。 考察新坐标系中的双点积：

$$\begin{aligned} \dot{\boldsymbol{\varepsilon}}' : \dot{\boldsymbol{\varepsilon}}' &= \operatorname{tr} \left[ \left( \dot{\boldsymbol{\varepsilon}}' \right)^T \dot{\boldsymbol{\varepsilon}}' \right]\\ &= \operatorname{tr} \left( \boldsymbol{Q} \dot{\boldsymbol{\varepsilon}}^T \boldsymbol{Q}^T \boldsymbol{Q} \dot{\boldsymbol{\varepsilon}} \boldsymbol{Q}^T \right)\\ &= \operatorname{tr} \left( \boldsymbol{Q} \dot{\boldsymbol{\varepsilon}}^T \dot{\boldsymbol{\varepsilon}} \boldsymbol{Q}^T \right)\\ &= \operatorname{tr} \left( \dot{\boldsymbol{\varepsilon}}^T \dot{\boldsymbol{\varepsilon}} \right)\\ &= \dot{\boldsymbol{\varepsilon}} : \dot{\boldsymbol{\varepsilon}}. \end{aligned}$$

这里使用了 $\boldsymbol{Q}^T\boldsymbol{Q}=\boldsymbol{I}$ 和迹的循环 不变性

$$\operatorname{tr}(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}) = \operatorname{tr}(\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}).$$

因此

$$\dot{\varepsilon}_\text{II}' = \frac12 \dot{\boldsymbol{\varepsilon}}' : \dot{\boldsymbol{\varepsilon}}' = \frac12 \dot{\boldsymbol{\varepsilon}} : \dot{\boldsymbol{\varepsilon}} = \dot{\varepsilon}_\text{II}.$$

这就是“不变量”的含义：应变率张量的单个分量会随坐标旋转而改变，但 由全部分量组合得到的 $\dot{\varepsilon}_\text{II}$ 保持不变。它因此能够 表示与观察方向无关的局部变形强度。

从几何上看， $\sqrt{\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}:\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}}$ 是应变率张量的 Frobenius 范数。坐标旋转不会改变向量的欧氏长度，同样 也不会改变张量的 Frobenius 范数。在二维中，坐标旋转可能把一部分法向 变形表现为剪切变形，或反过来，但各分量平方和所表示的总强度不变。

与经典第二主不变量的关系

二阶张量的经典第二主不变量为

$$I_2 \left( \dot{\boldsymbol{\varepsilon}} \right) = \frac12 \left[ \left( \operatorname{tr}\dot{\boldsymbol{\varepsilon}} \right)^2 - \operatorname{tr} \left( \dot{\boldsymbol{\varepsilon}}^2 \right) \right].$$

对于不可压缩流，

$$I_2 \left( \dot{\boldsymbol{\varepsilon}} \right) = -\dot{\varepsilon}_\text{II}.$$

因此本文采用的非负定义严格来说是经典第二主不变量的负值。冰川学和 非牛顿流体文献通常仍将其称为应变率第二不变量。

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