冰不是理想的刚体。在持续应力作用下，它会缓慢变形，因此在冰川和冰盖模型中通常被视为一种非牛顿黏性流体 (non-Newtonian viscous fluid)。描述冰的应力与变形速率之间关系时，最常用的是 Glen 流动定律。

这个定律经常以两种形式出现：

$$\dot{\varepsilon}_e=A\tau_e^n,$$

或

$$\boldsymbol{\tau} =2\eta(\boldsymbol{u},n)\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}.$$

前者是等效应力 (effective stress) 与等效应变率 (effective strain rate) 之间的标量关系，后者是适用于三维 Stokes 方程的张量关系。它们描述的是同一种流变规律 (rheological law)。

标量形式

Glen 流动定律的标量形式为

$$\dot{\varepsilon}_e=A\tau_e^n,$$

其中

• $\dot{\varepsilon}_e$ 是等效应变率 (effective strain rate)；
• $\tau_e$ 是等效偏应力 (effective deviatoric stress)；
• $A$ 是流动因子，主要受温度影响；
• $n$ 是 Glen 流变指数 (Glen exponent)。

这里的 $\dot{\varepsilon}_e$ 和 $\tau_e$ 都是单个数值，只表示应变率和偏应力的总体强度，不保留方向信息。因此，这个关系称为标量形式。

当 $n=1$ 时，

$$\dot{\varepsilon}_e=A\tau_e,$$

应变率与应力成正比，对应线性牛顿流体。

冰盖模拟中常取 $n=3$。此时

$$\dot{\varepsilon}_e=A\tau_e^3.$$

如果应力增大为原来的两倍，应变率会增大为原来的八倍, 这说明冰对高应力具有很强的非线性响应。

三维张量形式

在三维流动中，应力和应变率都有方向及分量，不能只用一个数完整描述。为此，Glen 定律写成

$$\boldsymbol{\tau} =2\eta(\boldsymbol{u},n)\dot{\boldsymbol{\varepsilon}},$$

其中 $\boldsymbol{\tau}$ 是偏应力张量 (deviatoric stress tensor)，$\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}$ 是应变率张量 (strain-rate tensor)。

对于速度场 $\boldsymbol{u}$，应变率张量定义为

$$\dot{\boldsymbol{\varepsilon}} =\frac{1}{2} \left( \nabla\boldsymbol{u} +\nabla\boldsymbol{u}^{T} \right).$$

它包含法向变形 (normal deformation) 和剪切变形 (shear deformation)。例如，$\dot{\varepsilon}_{xx}$ 描述 $x$ 方向的拉伸 (extension) 或压缩 (compression)，$\dot{\varepsilon}_{xy}$ 描述 $xy$ 平面内的剪切变形。

系数 $\eta$ 称为有效黏度 (effective viscosity)。在 Petra 等人的文章中，它写成

$$\eta(\boldsymbol{u},n) =\frac{1}{2}A^{-1/n} \dot{\varepsilon}_{\text{II}}^{\frac{1-n}{2n}},$$

其中

$$\dot{\varepsilon}_\text{II} =\frac{1}{2} \operatorname{tr} \left( \dot{\boldsymbol{\varepsilon}}^2 \right) =\frac{1}{2} \dot{\boldsymbol{\varepsilon}} : \dot{\boldsymbol{\varepsilon}}$$

是应变率张量的第二不变量 (second invariant of the strain-rate tensor)。双点积表示对所有张量分量的乘积求和：

$$\dot{\boldsymbol{\varepsilon}} : \dot{\boldsymbol{\varepsilon}} =\sum_{i,j}\dot{\varepsilon}_{ij}^2.$$

因此，$\dot{\varepsilon}_\text{II}$ 是一个与坐标旋转无关的标量，可以用来衡量应变率张量的总体强度。

等效应力和等效应变率

等效应变率定义为

$$\dot{\varepsilon}_e =\sqrt{\dot{\varepsilon}_\text{II}} = \sqrt{ \frac{1}{2} \dot{\boldsymbol{\varepsilon}} : \dot{\boldsymbol{\varepsilon}} },$$

并定义等效偏应力

$$\tau_e = \sqrt{ \frac{1}{2} \boldsymbol{\tau} : \boldsymbol{\tau} }.$$

它们分别把应变率张量和偏应力张量压缩成一个表示总体强度的数值。这个过程丢掉了方向信息，但保留了 Glen 定律所需的大小信息。

“标量形式”不等于“一维形式”。即使流动是三维的，也可以从三维张量构造出 $\dot{\varepsilon}_e$ 和 $\tau_e$ 这两个标量。

从张量形式推出标量形式

将有效黏度代入张量形式：

$$\boldsymbol{\tau} =2\eta\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}= A^{-1/n} \dot{\varepsilon}_\text{II}^{\frac{1-n}{2n}} \dot{\boldsymbol{\varepsilon}}.$$

记

$$c= A^{-1/n} \dot{\varepsilon}_\text{II}^{\frac{1-n}{2n}},$$

则

$$\boldsymbol{\tau}=c\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}.$$

因此

$$\begin{aligned} \tau_e^2 &=\frac{1}{2}\boldsymbol{\tau}:\boldsymbol{\tau}\\ &=\frac{1}{2} c^2 \dot{\boldsymbol{\varepsilon}} : \dot{\boldsymbol{\varepsilon}}\\ &=c^2\dot{\varepsilon}_\text{II}. \end{aligned}$$

代入 $c$：

$$\begin{aligned} \tau_e^2 &= A^{-2/n} \dot{\varepsilon}_\text{II}^{\frac{1-n}{n}} \dot{\varepsilon}_\text{II}\\ &= A^{-2/n} \dot{\varepsilon}_\text{II}^{1/n}. \end{aligned}$$

两边开平方：

$$\tau_e =A^{-1/n} \dot{\varepsilon}_\text{II}^{1/(2n)}.$$

由于

$$\dot{\varepsilon}_e =\sqrt{\dot{\varepsilon}_\text{II}},$$

所以

$$\tau_e =A^{-1/n}\dot{\varepsilon}_e^{1/n}.$$

将上式取 $n$ 次方并整理，便得到

$$\boxed{ \dot{\varepsilon}_e=A\tau_e^n }.$$

这说明张量形式与标量形式完全一致。

流变指数如何进入张量形式

在张量形式中，$n$ 没有直接作为 $\boldsymbol{\tau}$ 的幂出现，而是进入了有效黏度：

$$\eta \propto \dot{\varepsilon}_\text{II}^{\frac{1-n}{2n}}.$$

当 $n=1$ 时，

$$\eta=\frac{1}{2}A^{-1},$$

黏度与应变率无关，因此是线性流变。

当 $n=3$ 时，

$$\eta =\frac{1}{2}A^{-1/3} \dot{\varepsilon}_\text{II}^{-1/3}.$$

应变率越大，有效黏度越低。这种性质称为剪切变稀 (shear thinning)，也是冰的非线性流变 (nonlinear rheology) 特征。

正则化 Glen 黏度

当 $n>1$ 时，指数 $(1-n)/(2n)$ 为负，因此 $\dot{\varepsilon}_\text{II}\to0$ 会导致 Glen 黏度趋于无穷。为了避免 零应变率处的数值奇异，计算中通常采用正则化形式

$$\eta_\varepsilon(\boldsymbol{u}) = \frac12 A^{-1/n} \left( \dot{\varepsilon}_\text{II} +\varepsilon_{\mathrm{reg}}^2 \right)^{\frac{1-n}{2n}}.$$

这样即使局部应变率为零，黏度仍保持有限，其上界为

$$\eta_{\max} = \frac12 A^{-1/n} \left( \varepsilon_{\mathrm{reg}}^2 \right)^{\frac{1-n}{2n}}.$$

正则化参数 $\varepsilon_{\mathrm{reg}}$ 不是材料常数，而是数值模型的一部分。 参数越大，黏度上界越低、非线性越弱，但对原始 Glen 模型的改动也越明显。 因此应根据计算目的选择：

用途	$\varepsilon_{\mathrm{reg}}$	选择目的
正问题演示	$10^{-4}$	尽量接近未正则化模型
制造解测试	$10^{-1}$	保证解和黏度足够光滑，便于观察渐近收敛阶

对应的应用分别见 冰盖截面上的非线性 Stokes 正问题求解器 和 非线性 Stokes 方程的制造解收敛测试。

小结

标量形式

$$\dot{\varepsilon}_e=A\tau_e^n$$

适合解释物理意义：

• 应力增大时，冰的变形速率如何变化；
• $n$ 如何控制非线性程度；
• 不同流变参数对应怎样的材料响应。

张量形式

$$\boldsymbol{\tau} =2\eta\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}$$

适合放入三维动量方程：

$$-\nabla\cdot\boldsymbol{\sigma} =\rho\boldsymbol{g},$$

其中总应力张量 (total stress tensor) 分解为

$$\boldsymbol{\sigma} =\boldsymbol{\tau}-p\boldsymbol{I}.$$

总的来说,

标量形式说明冰“有多容易变形”，张量形式说明三维空间中各方向的应力与变形如何对应。

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版权归属：Guisong Wu

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