浅水方程里最容易混的，往往不是公式本身，而是几个量各自负责什么。比如：

• 动量方程里为什么有时写 $-g\nabla h$，有时写 $-g\nabla\eta$；
• vector-invariant form 里为什么出现 $\zeta+f$；
• potential vorticity 为什么写成 $q=(\zeta+f)/h$，分母是 $h$，不是 $\eta$。

这几个问题其实连在一起。只要把 $h,\eta,\zeta,f,q$ 的角色分清，很多写法看上去就不会再互相打架。

先把符号统一

浅水方程里常见的几个量是：

• $h$：水深，也就是流体柱厚度；
• $b$：底地形高度；
• $\eta$：自由液面高度；
• $u=(u,v)$：水平速度。

它们满足最基本的几何关系

$$\eta = h + b.$$

也就是说，自由液面高度减去底面高度，得到的就是水柱厚度。

为什么连续性方程用的是 $h$

连续性方程写成

$$\partial_t h + \nabla\cdot(hu)=0.$$

原因很直接：质量守恒追踪的是单位面积上“有多少水”，这个量正是水深 $h$。所以在浅水方程里，

• $h$ 负责描述水量；
• $u$ 负责描述水平输运。

为什么压力梯度项本质上是 $\nabla\eta$

在静水近似下，压强满足

$$p=\rho g(\eta-z).$$

因此水平压力梯度是

$$\nabla p = \rho g\nabla\eta,$$

对应的单位质量受力为

$$-\frac1\rho\nabla p = -g\nabla\eta.$$

所以动量方程里更准确的说法是：这里出现的是压力梯度项，而它本质上由自由液面高度 $\eta$ 的梯度决定。真正驱动水平流动的，是自由液面的倾斜，而不是“水深本身”。

于是浅水动量方程可写成

$$\partial_t u + (u\cdot\nabla)u + fu^\perp = -g\nabla\eta.$$

这里 $f$ 是 Coriolis 参数，$u^\perp=(-v,u)$。

那为什么很多地方又写成 $\nabla h$

因为若底面平坦，即

$$b=\text{const},$$

那么

$$\nabla\eta = \nabla(h+b) = \nabla h.$$

所以在平底情况下，把压力梯度项写成

$$-g\nabla h$$

完全没有问题。很多教材、理论推导和数值文章默认的就是这个情形。

但如果底地形变化，那么

$$\nabla\eta = \nabla h + \nabla b,$$

这时就不能把 $h$ 和 $\eta$ 混为一谈。动量方程中应保留

$$-g\nabla(h+b)=-g\nabla\eta.$$

一个最直接的检验是静水平衡：若 $\eta$ 是常数而 $b$ 有起伏，那么 $h=\eta-b$ 会变化，$\nabla h$ 一般不为零，但真实流体应当静止，因为这时

$$\nabla\eta = 0.$$

这也是 well-balanced 格式特别在意的地方。

relative vorticity 和 absolute vorticity

浅水方程的 vector-invariant form 常写成

$$\partial_t u + (\zeta+f)u^\perp + \nabla\left(g\eta+\frac12|u|^2\right)=0.$$

其中

$$\zeta=\nabla^\perp\cdot u=\partial_x v-\partial_y u$$

叫作 relative vorticity，也就是相对涡度。它表示流体相对于地球参考系的局部旋转，是流体自身“转出来的”那部分涡度。

而

$$\zeta+f$$

叫作 absolute vorticity，也就是绝对涡度。它等于流体自身的旋转再加上地球自转带来的背景旋转。换句话说：

• $\zeta$ 是流体相对地球的旋转；
• $f$ 是背景行星涡度；
• $\zeta+f$ 是相对于惯性系看到的总旋转。

所以在地球流体里，经常真正成组出现的不是 $\zeta$，而是 $\zeta+f$。

为什么 PV 是 $q=\dfrac{\zeta+f}{h}$

浅水方程里最重要的量之一是 potential vorticity：

$$q=\frac{\zeta+f}{h}.$$

这个式子里，分子是绝对涡度，分母是水柱厚度。它表达的是：

单位厚度上的绝对涡度。

这里分母必须是 $h$，不是 $\eta$，因为 PV 关心的是流体柱的伸长和压缩，而决定流体柱厚薄的量是 $h$，不是自由液面高度 $\eta$。

这一点在有底地形时尤其清楚。即便 $\eta$ 变化不大，只要 $b$ 在变化，水柱厚度

$$h=\eta-b$$

仍然可以明显改变。PV 要描述的正是这种“柱厚变化和旋转变化之间的耦合”，所以它天然使用 $h$。

一个直观图像是：若一根流体柱在质量守恒下被拉长，$h$ 变大，那么它的绝对涡度往往会减弱；若被压扁，$h$ 变小，绝对涡度往往会增强。浅水 PV 正是把这种关系压缩成

$$q=\frac{\zeta+f}{h}.$$

小结

• $h$ 表示水柱厚度，因此出现在连续性方程和 PV 里；
• $\eta$ 表示自由液面高度，因此出现在压力梯度项里；
• $\zeta+f$ 表示绝对涡度；
• $q=(\zeta+f)/h$ 的分母必须是 $h$，不是 $\eta$。

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