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线性浅水方程的推导

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浅水方程

2026-05-13

浅水方程是地球流体力学里最基础的一类模型。很多天气、海洋和数值方法里的现象，往往都可以先放到浅水方程里看一遍：重力波怎么传播，Coriolis 力怎么和压强梯度平衡，以及一个离散格式到底保不保质量、保不保地转平衡。

但实际使用时，大家更常碰到的往往不是完整的非线性浅水方程，而是它在线性化之后的版本。原因很简单：线性模型已经足够包含许多核心动力学，同时又更容易分析稳定性、色散关系和数值离散性质。

这篇文章就从二维旋转浅水方程出发，推导线性浅水方程，并顺手解释两个问题：

  • 为什么非线性项可以在线性化时忽略；
  • 为什么系统里自然会出现波速 c=gHc=\sqrt{gH}。

从非线性浅水方程开始

先写出二维旋转浅水方程：

∂tu+(u⋅∇)u+fu⊥+g∇h=0\partial_t u + (u\cdot\nabla)u + fu^\perp + g\nabla h = 0

∂th+∇⋅(hu)=0\partial_t h + \nabla\cdot(hu) = 0

这里

  • u=(u,v)u=(u,v) 是水平速度；
  • u⊥=(−v,u)u^\perp = (-v,u) 表示速度逆时针旋转 90∘90^\circ；
  • ff 是 Coriolis 参数；
  • gg 是重力加速度；
  • h(x,t)h(x,t) 是流体总厚度。

第一式是动量方程，第二式是质量守恒，也就是连续性方程。

围绕静止背景态做线性化

线性化的第一步，是选一个简单背景态。最常见的做法是围绕静水、静止状态展开：

u=0,h=H,u = 0, \qquad h = H,

其中 HH 是常数平均水深。

现在引入小扰动：

u=u′,h=H+h′.u = u', \qquad h = H + h'.

后面为了记号简洁，通常直接把 u′u' 重新记成 uu，只把 h′h' 保留下来表示自由表面的微小偏移。

这一步的物理意思很直接：我们不再追踪大幅度非线性运动，而只关心静止水层附近的小振动。

动量方程怎么线性化

把

h=H+h′h = H + h'

代入动量方程，有

ut+(u⋅∇)u+fu⊥+g∇(H+h′)=0.u_t + (u\cdot\nabla)u + fu^\perp + g\nabla(H+h') = 0.

由于 HH 是常数，所以

∇H=0,\nabla H = 0,

于是上式化为

ut+(u⋅∇)u+fu⊥+g∇h′=0.u_t + (u\cdot\nabla)u + fu^\perp + g\nabla h' = 0.

真正需要处理的是非线性平流项 (u⋅∇)u(u\cdot\nabla)u。它之所以能被忽略，不是因为它“不重要”，而是因为在线性化假设下它是二阶小量。

若扰动速度满足

u=O(ε),u = O(\varepsilon),

并且空间尺度为 LL，那么

∂xu∼uL,\partial_x u \sim \frac{u}{L},

从而

(u⋅∇)u∼uuL=O(ε2).(u\cdot\nabla)u \sim u\frac{u}{L} = O(\varepsilon^2).

舍去这个二次项，动量方程就变成

ut+fu⊥+g∇h′=0.u_t + fu^\perp + g\nabla h' = 0.

连续性方程怎么线性化

再看连续性方程：

ht+∇⋅(hu)=0.h_t+\nabla\cdot(hu)=0.

代入 h=H+h′h=H+h'，并把散度项展开：

ht′+H∇⋅u+∇h′⋅u+h′∇⋅u=0.h'_t + H\nabla\cdot u + \nabla h'\cdot u + h'\nabla\cdot u = 0.

这里最后两项都含有两个小扰动量。若

h′=O(ε),u=O(ε),h' = O(\varepsilon), \qquad u = O(\varepsilon),

则

∇h′⋅u=O(ε2),h′∇⋅u=O(ε2).\nabla h' \cdot u = O(\varepsilon^2), \qquad h'\nabla\cdot u = O(\varepsilon^2).

因此在线性近似下，它们同样被忽略，剩下

ht′+H∇⋅u=0.h'_t + H\nabla\cdot u = 0.

这就是线性化后的连续性方程。

引入自由表面扰动 η\eta

为了让变量更自然，通常会把水深扰动写成无量纲形式

η=h′H.\eta = \frac{h'}{H}.

于是

h′=Hη.h' = H\eta.

代回前面的两个线性方程，就得到 线性浅水方程：

ut+fu⊥+gH∇η=0,ηt+∇⋅u=0.\begin{aligned} u_t + fu^\perp + gH\nabla\eta = 0, \\ \eta_t + \nabla\cdot u = 0. \end{aligned}

它的结构很清楚：

  • 动量方程里，速度受 Coriolis 力和自由表面梯度驱动；
  • 连续性方程里，自由表面高度和速度散度相互耦合。

波速 c=gHc=\sqrt{gH}

把

c2=gHc^2 = gH

记成一个常数，方程可以写成更紧凑的形式：

ut+fu⊥+c2∇η=0,u_t + fu^\perp + c^2\nabla\eta = 0,

ηt+∇⋅u=0.\eta_t + \nabla\cdot u = 0.

为什么这个 cc 可以理解为波速？先看最简单的情形：忽略旋转，也就是取 f=0f=0。这时动量方程变成

ut+c2∇η=0.u_t + c^2\nabla\eta = 0.

对连续性方程再对时间求导：

ηtt+∇⋅ut=0.\eta_{tt} + \nabla\cdot u_t = 0.

再用动量方程代换 utu_t：

ηtt−c2Δη=0.\eta_{tt} - c^2\Delta\eta = 0.

这正是标准波动方程。因此

c=gHc = \sqrt{gH}

就是浅水重力波的传播速度。

这个结果也很符合直觉：水越深，扰动传播越快；重力越强，恢复作用越强，波也传播得越快。

地转平衡在线性模型里怎么体现

线性浅水方程虽然简单，但已经能容纳地转平衡。若考虑稳态解，也就是

ut=0,ηt=0,u_t = 0, \qquad \eta_t = 0,

那么系统退化为

fu⊥+c2∇η=0,fu^\perp + c^2\nabla\eta = 0,

∇⋅u=0.\nabla\cdot u = 0.

第一式表示 Coriolis 力与压强梯度力相平衡，这就是地转平衡的线性形式。很多大尺度大气和海洋运动，首先就可以理解成在这个平衡附近的小扰动演化。

为什么线性浅水方程很重要

线性浅水方程看起来只是非线性方程的“简化版”，但它并不只是教学模型。恰恰相反，它是很多理论分析和数值实验的标准起点。

它已经包含了不少关键现象：

  • 重力波；
  • 惯性振荡；
  • 地转平衡；
  • 在 β\beta-plane 设置下的 Rossby 波。

这里每一项都对应着很具体的物理机制。

重力波是最容易理解的一类：当自由液面被扰动后，重力会把它拉回平衡位置，于是形成传播的波动。在不考虑旋转时，线性浅水方程可以化成标准波动方程，因此波速正是前面得到的

c=gH.c = \sqrt{gH}.

惯性振荡则来自旋转效应。若先忽略空间传播和液面起伏，只保留 Coriolis 项，那么流体微团会在旋转作用下做周期性偏转，其时间尺度由 Coriolis 参数 ff 控制。这说明即使没有明显的波传播，旋转本身也能支撑振荡。

地转平衡不是一种波，而是一种稳态平衡：压强梯度力推动流体运动，而 Coriolis 力把这种运动侧向偏转；当两者恰好抵消时，就得到地转平衡。很多大尺度海洋和大气运动都可以看成是在这种平衡附近缓慢演化。

Rossby 波则是在地转平衡背景上进一步出现的慢波动。关键在于 Coriolis 参数并不是处处相同，而是随纬度变化。在 β\beta-plane 近似里，常把它写成

f=f0+βy,f = f_0 + \beta y,

其中 β\beta 描述 ff 随南北方向的线性变化。正是这种变化使得系统能够支持大尺度、低频、缓慢传播的 Rossby 波。它在天气系统和海洋环流理论里都非常重要。

版权归属：Guisong Wu

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