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外观

球面上线性浅水方程的一阶球谐驻波算例

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浅水方程

2026-05-27

研究球面上线性浅水方程时，一个很自然的问题是：怎样找一个结构足够清楚、又能完整写出的周期解？

最直接的办法，是找一个可以完整写出来的精确解。它应该同时满足几个条件：

  • 空间结构足够简单，方便直接写出初值；
  • 时间演化不是静止的，能够真正检验动力学过程；
  • 质量和能量可以直接算出，从而看清守恒结构。

一阶球谐函数正好提供了这样的算例。这篇文章考虑无旋转、并取 g=H=1g=H=1 归一化后的球面线性浅水系统，构造一个以固定频率周期振荡的驻波，并验证它的方程、质量和能量。

这里的质量和能量计算只服务于这个精确解。一般能量结构为什么成立，见 线性浅水离散格式的能量守恒条件；几个常用诊断量的定义见 线性浅水方程里的质量、能量、线性位涡和 enstrophy。

球面上的线性浅水系统

考虑半径为 RR 的球面

SR={(x,y,z):x2+y2+z2=R2}.S_R=\{(x,y,z):x^2+y^2+z^2=R^2\}.

在不考虑 Coriolis 项、并取 g=H=1g=H=1 后，线性浅水方程可写成

∂tu+∇Sh=0,\partial_t \bm{u}+\nabla_S h=0,

∂th+∇S⋅u=0.\partial_t h+\nabla_S\cdot \bm{u}=0.

这里：

  • u\bm{u} 是球面切向速度场；
  • hh 是自由面高度扰动；
  • ∇S\nabla_S 和 ∇S⋅\nabla_S\cdot 分别表示球面梯度与球面散度。

对第二条方程再对时间求导，并利用第一条方程，有

∂t2h+∇S⋅∂tu=0,\partial_t^2 h+\nabla_S\cdot \partial_t \bm{u}=0,

从而

∂t2h−ΔSh=0.\partial_t^2 h-\Delta_S h=0.

因此，只要找到球面 Laplace--Beltrami 算子的特征函数，就能构造这个系统的周期解。

选择一阶球谐函数

取最简单的一阶球谐函数

ϕ=x.\phi=x.

这里的 xx 指球面嵌入三维空间后的第一个坐标函数。它满足

ΔSx=−2R2x.\Delta_S x=-\frac{2}{R^2}x.

所以对应的特征值为

λ=2R2,\lambda=\frac{2}{R^2},

角频率为

ω=λ=2R.\omega=\sqrt{\lambda}=\frac{\sqrt{2}}{R}.

于是可以取驻波解

h=xcos⁡(ωt),h=x\cos(\omega t),

u=−1ω∇Sxsin⁡(ωt).\bm{u}=-\frac{1}{\omega}\nabla_S x\sin(\omega t).

若需要把速度场写成显式坐标形式，还可以使用

∇Sx=(1,0,0)−xR2(x,y,z),\nabla_S x = (1,0,0)-\frac{x}{R^2}(x,y,z),

它显式地位于球面的切平面中。

验证精确解

先看动量方程。由速度表达式可得

∂tu=−∇Sxcos⁡(ωt),\partial_t \bm{u}=-\nabla_S x\cos(\omega t),

而

∇Sh=∇Sxcos⁡(ωt).\nabla_S h=\nabla_S x\cos(\omega t).

因此

∂tu+∇Sh=0.\partial_t \bm{u}+\nabla_S h=0.

再看连续性方程。高度扰动的时间导数为

∂th=−ωxsin⁡(ωt).\partial_t h=-\omega x\sin(\omega t).

另一方面，

∇S⋅u=−1ωΔSxsin⁡(ωt)=2ωR2xsin⁡(ωt).\nabla_S\cdot \bm{u} = -\frac{1}{\omega}\Delta_S x\sin(\omega t) = \frac{2}{\omega R^2}x\sin(\omega t).

由于

ω2=2R2,\omega^2=\frac{2}{R^2},

所以

∇S⋅u=ωxsin⁡(ωt).\nabla_S\cdot \bm{u}=\omega x\sin(\omega t).

于是

∂th+∇S⋅u=0.\partial_t h+\nabla_S\cdot \bm{u}=0.

这说明上面给出的 hh 和 u\bm{u} 确实是球面线性浅水系统的精确解。

初值和振荡周期

在 t=0t=0 时，这个驻波的初值非常简单：

h(x,y,z,0)=x,u(x,y,z,0)=0.h(x,y,z,0)=x, \qquad \bm{u}(x,y,z,0)=0.

也就是说，系统一开始只有高度扰动，没有速度。随后高度扰动逐渐转化为速度场，再周期性地转回高度扰动。

它的周期为

T=2πω=2πR.T=\frac{2\pi}{\omega}=\sqrt{2}\pi R.

在四分之一周期 t=T/4t=T/4 时，

h=0,u=−1ω∇Sx.h=0, \qquad \bm{u}=-\frac{1}{\omega}\nabla_S x.

因此这个时刻最适合观察从势能状态到动能状态的转换；经过一个完整周期后，解又会回到初始状态。

质量守恒

这里的总质量就是高度扰动积分：

M(t)=∫SRh dS.M(t)=\int_{S_R}h\,dS.

由于 xx 关于球面对称，其球面积分为零：

∫SRx dS=0.\int_{S_R}x\,dS=0.

因此

M(t)=cos⁡(ωt)∫SRx dS=0.M(t) = \cos(\omega t)\int_{S_R}x\,dS = 0.

这个精确解的总质量扰动始终为零。

能量守恒

在 g=H=1g=H=1 的归一化下，物理能量为

E(t)=12∫SR(h2+∣u∣2)dS.E(t) = \frac12\int_{S_R}\left(h^2+|\bm{u}|^2\right)dS.

代入驻波解，有

h2=x2cos⁡2(ωt),h^2=x^2\cos^2(\omega t),

∣u∣2=1ω2∣∇Sx∣2sin⁡2(ωt).|\bm{u}|^2 = \frac{1}{\omega^2} |\nabla_S x|^2 \sin^2(\omega t).

利用球面分部积分以及 ΔSx=−2x/R2\Delta_S x=-2x/R^2，可得

∫SR∣∇Sx∣2 dS=−∫SRxΔSx dS=2R2∫SRx2 dS.\int_{S_R}|\nabla_S x|^2\,dS = -\int_{S_R}x\Delta_S x\,dS = \frac{2}{R^2}\int_{S_R}x^2\,dS.

再利用 ω2=2/R2\omega^2=2/R^2，便有

1ω2∫SR∣∇Sx∣2 dS=∫SRx2 dS.\frac{1}{\omega^2} \int_{S_R}|\nabla_S x|^2\,dS = \int_{S_R}x^2\,dS.

于是高度扰动势能与速度动能在振荡过程中互相交换，但两者之和保持不变：

E(t)=12∫SRx2(cos⁡2(ωt)+sin⁡2(ωt))dS=12∫SRx2 dS.E(t) = \frac12 \int_{S_R}x^2 \left( \cos^2(\omega t)+\sin^2(\omega t) \right)dS = \frac12\int_{S_R}x^2\,dS.

最后，利用球面对称性，

∫SRx2 dS=∫SRy2 dS=∫SRz2 dS.\int_{S_R}x^2\,dS = \int_{S_R}y^2\,dS = \int_{S_R}z^2\,dS.

而

x2+y2+z2=R2,∣SR∣=4πR2,x^2+y^2+z^2=R^2, \qquad |S_R|=4\pi R^2,

所以

3∫SRx2 dS=R2∣SR∣=4πR4.3\int_{S_R}x^2\,dS = R^2|S_R| = 4\pi R^4.

最终得到

E(t)=2πR43.\boxed{ E(t)=\frac{2\pi R^4}{3}. }

为什么这个算例有用

这个一阶球谐驻波并不复杂，但它同时覆盖了球面线性浅水理论中的几个关键环节：

  • h=xh=x 是全局光滑模式，便于直接分析其空间结构；
  • u\bm{u} 通过球面梯度产生，清楚展示了切向速度场的几何来源；
  • ∇S⋅u\nabla_S\cdot \bm{u} 会重新回到同一个球谐模式，体现梯度和散度之间的配对；
  • 一个周期后的状态返回说明这是一个完整的驻波振荡；
  • 质量恒为零、能量有明确常数值，适合用来观察守恒结构。

因此，在更复杂的旋转浅水波动或非线性情形之前，先看这个精确驻波，通常能把球面几何、周期振荡和守恒量之间的关系理顺。

版权归属：Guisong Wu

许可证：署名 4.0 国际 (CC-BY-4.0)