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外观

线性浅水方程中的诊断量

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浅水方程

2026-06-06

这篇文章整理线性浅水方程里几个常用诊断量的定义：质量、能量、线性位涡和 enstrophy。

本文只说明这些量各自怎么定义，以及连续形式和离散形式之间怎样对应，不重复展开守恒条件本身。能量守恒的空间和时间结构见 线性浅水离散格式的能量守恒条件。

这里考虑的线性浅水方程是

∂tu+fu⊥+g∇h=0,\partial_t \bm{u} + f\bm{u}^\perp + g\nabla h = 0,

∂th+H∇⋅u=0.\partial_t h + H\nabla\cdot \bm{u} = 0.

其中 u\bm{u} 是速度，hh 是自由面高度扰动。下面分别写出连续数学定义和常见的离散对应。

质量

连续数学定义为

M(t)=∫Ωh dx.M(t) = \int_\Omega h\,dx.

若采用逐单元、逐积分点的积分方式，则对应的离散量可写成

Mh=∑K∑q∈Kwq∣JK(q)∣hh(xq).M_h = \sum_K \sum_{q\in K} w_q |J_K(q)| h_h(x_q).

它表示把离散场 hhh_h 在全区域上做数值积分。

能量

连续数学定义取物理形式

E(t)=12∫Ω(H∣u∣2+gh2) dx.E(t) = \frac12\int_\Omega \left(H|\bm{u}|^2+gh^2\right)\,dx.

如果只关心守恒而不关心系数，去掉前面的 1/21/2 也可以，因为它只差一个常数倍。

对应的离散定义为

Eh=∑K∑q∈K12wq∣JK(q)∣(H∣uh(xq)∣2+g hh(xq)2).E_h = \sum_K \sum_{q\in K} \frac12 w_q |J_K(q)| \left(H|\bm{u}_h(x_q)|^2+g\,h_h(x_q)^2\right).

这正是连续物理能量的数值积分版本。

线性位涡

二维平面上，相对涡量通常定义为

ζ=∇⊥⋅u=∂xuy−∂yux.\zeta = \nabla^\perp\cdot \bm{u} = \partial_x u_y - \partial_y u_x.

对动量方程取 ∇⊥⋅\nabla^\perp\cdot，并与连续性方程联立，可得到讲义里使用的线性位涡

qlinear=ζ−fHh.q_{\mathrm{linear}} = \zeta-\frac{f}{H}h.

当 ff 为常数时，它满足

∂tqlinear=0.\partial_t q_{\mathrm{linear}} = 0.

因此对应的连续守恒量可定义为

Q(t)=∫Ωqlinear dx=∫Ω(ζ−fHh) dx.Q(t) = \int_\Omega q_{\mathrm{linear}}\,dx = \int_\Omega \left(\zeta-\frac{f}{H}h\right)\,dx.

在离散层面，常见做法不是直接对 uh\bm{u}_h 求点值 curl，而是先对每个单元 KK 用 Stokes 公式计算边界环量

ΓK=∮∂Kuh⋅t ds.\Gamma_K = \oint_{\partial K} \bm{u}_h\cdot t\,ds.

然后定义单元平均相对涡量

ζK=ΓK∣K∣.\zeta_K = \frac{\Gamma_K}{|K|}.

若把单元平均高度扰动记作

hK=1∣K∣∑q∈Kwq∣JK(q)∣hh(xq),h_K = \frac{1}{|K|} \sum_{q\in K} w_q |J_K(q)| h_h(x_q),

则单元平均线性位涡可写成

qlinear,K=ζK−fHhK.q_{\mathrm{linear},K} = \zeta_K-\frac{f}{H}h_K.

于是全局离散线性位涡定义为

Qh=∑K∣K∣qlinear,K=∑K(ΓK−fH∣K∣hK).Q_h = \sum_K |K|q_{\mathrm{linear},K} = \sum_K \left(\Gamma_K-\frac{f}{H}|K|h_K\right).

这里真正自然守恒的不是单独的相对涡量 ζ\zeta，而是和高度扰动耦合后的 qlinearq_{\mathrm{linear}}。

Enstrophy

若继续沿用线性位涡变量，那么更自然的 enstrophy 是线性位涡的平方积分。带 1/21/2 的形式是

Z(t)=12∫Ωqlinear2 dx.Z(t) = \frac12\int_\Omega q_{\mathrm{linear}}^2\,dx.

也常见不带 1/21/2 的形式

Z(t)=∫Ωqlinear2 dx.Z(t) = \int_\Omega q_{\mathrm{linear}}^2\,dx.

若采用不带 1/21/2 的版本，并把单元平均线性位涡记作 qlinear,Kq_{\mathrm{linear},K}，则离散 enstrophy 定义为

Zh=∑K∣K∣qlinear,K2.Z_h = \sum_K |K|q_{\mathrm{linear},K}^2.

代入

qlinear,K=ΓK∣K∣−fHhK,q_{\mathrm{linear},K} = \frac{\Gamma_K}{|K|}-\frac{f}{H}h_K,

也可以写成

Zh=∑K∣K∣(ΓK∣K∣−fHhK)2.Z_h = \sum_K |K| \left( \frac{\Gamma_K}{|K|}-\frac{f}{H}h_K \right)^2.

因此 enstrophy 关注的不是单独的环量或高度，而是线性位涡这个耦合量的平方积分。

汇总

诊断量连续数学定义常见离散定义
Mass∫Ωh dx\int_\Omega h\,dx$\sum_K\sum_q w_q
Energy$\frac12\int_\Omega (H\bm
Linear PV∫Ω(ζ−fHh) dx\int_\Omega \left(\zeta-\frac{f}{H}h\right)\,dx$\sum_K
Enstrophy∫Ωqlinear2 dx\int_\Omega q_{\mathrm{linear}}^2\,dx$\sum_K

需要特别注意两个约定：

  1. 能量和 enstrophy 是否乘 1/21/2，常常只是记号约定，不影响守恒判断。
  2. 在线性旋转浅水方程里，真正自然守恒的旋转量是 qlinear=ζ−fHhq_{\mathrm{linear}}=\zeta-\frac{f}{H}h，不是单独的 ζ\zeta。

版权归属：Guisong Wu

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