Ice Sheet Model Intercomparison Project for Higher-Order Models (ISMIP-HOM) 不是预测某个真实冰盖，而是给 higher-order 和 Full-Stokes 冰盖流动模型提供一组足够简单、可重复、又能激发高阶应力效应的标准测试。

这里介绍其中最常用的 A-D 四个诊断型基准测试。它们都求解给定几何和底部条件下的稳态速度场，不考虑温度演化和自由表面演化。冰被看作等温、各向同性、不可压缩的 Glen 流体。

通用设置

A-D 四个测试都使用周期性水平区域。三维测试的平面区域是

$$0 \le x \le L, \qquad 0 \le y \le L,$$

其中

$$L = 5,\ 10,\ 20,\ 40,\ 80,\ 160\ {\rm km}.$$

冰厚量级为

$$H = 1\ {\rm km}.$$

常用物理参数为：

参数	数值	含义
$A$	$10^{-16}\ {\rm Pa}^{-n}{\rm a}^{-1}$	Glen 流动律参数
$n$	$3$	Glen 指数
$\rho$	$910\ {\rm kg\,m^{-3}}$	冰密度
$g$	$9.81\ {\rm m\,s^{-2}}$	重力加速度
$1\ {\rm a}$	$31556926\ {\rm s}$	一年秒数

上表中的 $A$ 使用以 year 为时间单位的形式。A-D 都使用水平周期边界条件，因此可以理解为一个无限重复的理想化冰盖片段。

表面是无应力边界：

$$\boldsymbol n_s \cdot \boldsymbol T \boldsymbol n_s \approx 0.$$

底部边界分两类：

• A、B：无滑移，即底部速度为零；
• C、D：线性滑移，底部切向应力由摩擦系数 $\beta^2$ 控制。

ISMIP-HOM 的结果通常比较表面水平速度模长：

$$\|\boldsymbol v_s\| = \sqrt{v_x^2+v_y^2}.$$

A、C 是三维测试，通常取剖面 $y=L/4$ 上的表面速度；B、D 是二维流线版本，结果沿 $x$ 方向比较。

Experiment A: 三维起伏床面，无滑移

Experiment A 测试冰流经过三维周期性床面起伏时的应力传递。冰体平均厚度为 $1\ {\rm km}$，平均坡度为

$$\alpha = 0.5^\circ.$$

表面为倾斜平面：

$$z_s(x,y) = -x\tan\alpha.$$

床面在 $x$ 和 $y$ 两个方向都有正弦起伏：

$$z_b(x,y) = z_s(x,y) - 1000 + 500\sin(\omega x)\sin(\omega y), \quad \omega = \frac{2\pi}{L}.$$

底部条件为无滑移：

$$\boldsymbol v_b = 0.$$

这个测试的核心是：床面起伏会激发表面速度的空间变化。$L$ 越小，床面起伏越密，纵向应力和横向应力越强地平滑速度场，表面速度变化幅度会下降。

Full-Stokes 参考统计中，表面速度最大值和平均值大致为：

$L$ (km)	max (m/a)	mean (m/a)
5	14.56	14.20
10	24.36	20.02
20	39.73	24.74
40	63.89	31.89
80	87.10	37.31
160	102.63	39.98

预期特征是：随着 $L$ 从 160 km 减小到 5 km，速度峰值显著降低，表面速度剖面变得更平滑。

Experiment B: 二维起伏床面，无滑移

Experiment B 是 A 的二维流线版本。几何只在 $x$ 方向变化，不随 $y$ 变化，因此适合二维 flowline 模型。

表面仍为

$$z_s(x,y) = -x\tan\alpha, \quad \alpha = 0.5^\circ.$$

床面为一维正弦起伏：

$$z_b(x,y) = z_s(x,y) - 1000 + 500\sin(\omega x), \quad \omega = \frac{2\pi}{L}.$$

底部仍然无滑移：

$$\boldsymbol v_b = 0.$$

它和 A 的物理含义相同：考察床面高低起伏如何通过高阶应力影响表面速度。不同之处是没有横向床面变化，因此横向应力效应消失，问题更接近二维纵剖面流动。

Full-Stokes 参考统计约为：

$L$ (km)	max (m/a)	mean (m/a)
5	11.76	11.04
10	22.82	19.09
20	46.91	28.28
40	73.77	35.75
80	95.12	39.76
160	108.33	41.40

预期特征是：大尺度 $L$ 下速度接近浅冰近似给出的高速度量级；小尺度 $L$ 下，纵向应力平滑床面扰动，速度明显下降。

Experiment C: 三维平坦床面，空间变化底摩擦

Experiment C 不再改变床面形状，而是改变底部摩擦系数。它模拟的是类似冰流的情形：几何很简单，但底部滑移条件强烈变化。

坡度较 A、B 更小：

$$\alpha = 0.1^\circ.$$

表面和床面为平行平面：

$$z_s(x,y) = -x\tan\alpha,$$

$$z_b(x,y) = z_s(x,y) - 1000.$$

底部采用线性滑移律。摩擦系数为二维周期正弦场：

$$\beta^2(x,y) = 1000 + 1000\sin(\omega x)\sin(\omega y), \quad \omega = \frac{2\pi}{L}.$$

因此 $\beta^2$ 的范围是 $0$ 到 $2000$。低摩擦区域更容易滑动，高摩擦区域速度较小。

Full-Stokes 参考统计约为：

$L$ (km)	max (m/a)	mean (m/a)
5	16.00	15.99
10	16.53	16.24
20	19.05	16.84
40	29.32	19.76
80	60.15	27.38
160	143.75	41.68

预期特征是：速度场主要由底部摩擦变化控制。$L$ 越大，低摩擦区可以发展出更明显的高速流；$L$ 越小，纵向应力传递会把高低摩擦区的速度差平滑掉，因此 $L=5$ km 时表面速度几乎是常数，约为 $16\ {\rm m/a}$。

Experiment D: 二维平坦床面，空间变化底摩擦

Experiment D 是 C 的二维流线版本。几何仍为平行平面：

$$z_s(x,y) = -x\tan\alpha, \quad z_b(x,y) = z_s(x,y)-1000, \quad \alpha = 0.1^\circ.$$

底部摩擦只沿 $x$ 方向变化：

$$\beta^2(x,y) = 1000 + 1000\sin(\omega x), \quad \omega = \frac{2\pi}{L}.$$

同样，$\beta^2$ 会在区域内达到零。这个设置强调沿流向的滑移变化，是一个典型的冰流/滑移带应力传递测试。

Full-Stokes 参考统计约为：

$L$ (km)	max (m/a)	mean (m/a)
5	16.48	16.43
10	17.11	16.81
20	21.33	18.40
40	41.51	24.63
80	97.64	37.00
160	238.44	57.17

预期特征是：表面速度和底部摩擦呈反相关。低摩擦区对应更快滑动，高摩擦区对应较慢速度。小尺度 $L$ 下这种反相关会被纵向应力平滑；大尺度 $L$ 下，速度峰值会快速升高。

四个测试的对比

测试	维度	床面	底部条件	主要考察
A	3D	$x,y$ 正弦起伏	无滑移	三维床面起伏引起的高阶应力
B	2D flowline	$x$ 正弦起伏	无滑移	沿流向床面起伏的应力平滑
C	3D	平坦平行床面	$\beta^2(x,y)$ 变化	三维滑移/冰流型问题
D	2D flowline	平坦平行床面	$\beta^2(x)$ 变化	沿流向滑移变化

可以把 A、B 看成“几何扰动测试”，把 C、D 看成“底部摩擦扰动测试”。A、C 是三维版本；B、D 是二维流线版本。

总体预期是：

• Full-Stokes 模型之间的结果离散度通常小于 higher-order 近似模型；
• 当 $L$ 很小时，纵向应力和横向应力会平滑局部扰动，表面速度剖面趋于平坦；
• 当 $L$ 很大时，冰体更能感受到局部床面或底摩擦变化，速度峰值更明显；
• C、D 中浅冰近似不适合，因为底部滑移和纵向应力主导速度场；
• D 中表面速度应与底部摩擦呈明显反相关，尤其在较大 $L$ 时更清楚。

参考

• Pattyn, F. et al. (2008), Benchmark experiments for higher-order and full-Stokes ice sheet models (ISMIP-HOM), The Cryosphere, 2, 95-108.

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