有限元方法（Finite Element Method, FEM）是求解偏微分方程的重要数值方法。本文将简单介绍三种重要的有限元类型：Lagrange 元、H(div) 元和间断 Galerkin（DG）元。

有限元方法基础

基本思想

有限元方法的核心思想是：

1. 区域离散：将求解区域划分为有限个单元（如三角形、四边形、四面体等）
2. 函数逼近：在每个单元上用简单函数（多项式）逼近未知函数
3. 弱形式：将微分方程转化为积分形式
4. 代数方程组：得到线性或非线性代数方程组

标准流程

考虑 Poisson 方程：

$$-\Delta u = f \quad \text{in } \Omega, \quad u = 0 \quad \text{on } \partial\Omega$$

弱形式为：Find $u \in H^1_0(\Omega)$ such that

$$\int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v \, dx = \int_\Omega f v \, dx, \quad \forall v \in H^1_0(\Omega)$$

有限元离散：

$$u_h = \sum_{i=1}^N u_i \phi_i(x)$$

其中 $\phi_i$ 是基函数，$u_i$ 是待求系数，又叫自由度。

Lagrange 有限元

基本概念

Lagrange 有限元是最经典的有限元类型，其基函数在节点处取值为 1，在其他节点处为 0。

一维 Lagrange 元

线性元（P1）：

在单元 $[x_i, x_{i+1}]$ 上：

$$\phi_i(x) = \frac{x_{i+1} - x}{x_{i+1} - x_i}, \quad \phi_{i+1}(x) = \frac{x - x_i}{x_{i+1} - x_i}$$

二次元（P2）：

增加中点节点，使用二次多项式：

$$\phi_i(x) = \frac{(x - x_m)(x - x_{i+1})}{(x_i - x_m)(x_i - x_{i+1})}$$

二维 Lagrange 元

二维、三维有限元基函数都定义在参考元上。

三角形 P1 元：

$$\phi_1(\xi, \eta) = 1-\xi-\eta, \quad \phi_2(\xi, \eta) = \xi, \quad \phi_3(\xi, \eta) = \eta$$

满足 $\phi_i(\xi_j, \eta_j) = \delta_{ij}$（Kronecker delta）。

三角形 P2 元：

6 个节点（3 个顶点 + 3 个边中点），使用二次多项式。

四边形 Q1 元：

$$\begin{aligned} \phi_1 &= (1-\xi)(1-\eta), \\ \phi_2 &= \xi(1-\eta), \\ \phi_3 &= \xi\eta, \\ \phi_4 &= (1-\xi)\eta \end{aligned}$$

其中 $(\xi, \eta) \in [0, 1]^2$ 是参考单元坐标。

三维 Lagrange 元

• 四面体 P1 元：4 个节点，线性基函数
• 四面体 P2 元：10 个节点，二次基函数
• 六面体 Q1 元：8 个节点，三线性基函数
• 六面体 Q2 元：27 个节点，三次基函数

MFEM中的实现示例

// MFEM 中使用 Lagrange 元
#include "mfem.hpp"

// 创建 P2 有限元空间
FiniteElementCollection *fec = new H1_FECollection(2, dim);  // 2 表示 P2
FiniteElementSpace *fespace = new FiniteElementSpace(mesh, fec);

// 定义网格函数
GridFunction u(fespace);

H(div) 有限元

基本概念

H(div) 元（也称 Raviart-Thomas 元或 RT 元）是专门为向量场设计的有限元，其法向分量在单元边界上连续。

数学空间

H(div) 空间定义为：

$$H(\text{div}, \Omega) = \{v \in [L^2(\Omega)]^d : \nabla \cdot v \in L^2(\Omega)\}$$

RT 元的构造

二维 RT0 元（最低阶）：

在三角形单元 $K$ 上：

$$RT_0(K) = \{v : v(x) = a + b x, \quad a \in \mathbb{R}^2, b \in \mathbb{R}\}$$

自由度：每条边上的法向通量。

二维 RT1 元：

$$RT_1(K) = RT_0(K) \oplus \{x p(x) : p \in P_1(K)\}$$

Nedelec 元（H(curl) 元）

类似地，Nedelec 元用于 H(curl) 空间：

$$H(\text{curl}, \Omega) = \{v \in [L^2(\Omega)]^d : \nabla \times v \in [L^2(\Omega)]^d\}$$

切向分量在边界上连续。

应用场景

流体力学：

混合有限元方法求解 Darcy 方程：

$$\begin{aligned} \mathbf{u} + K \nabla p &= 0 \\ \nabla \cdot \mathbf{u} &= f \end{aligned}$$

使用 RT 元离散速度 $\mathbf{u}$，P0 元离散压力 $p$。

电磁场：

Maxwell 方程：

$$\nabla \times E = -\frac{\partial B}{\partial t}, \quad \nabla \times H = J + \frac{\partial D}{\partial t}$$

使用 Nedelec 元离散电场和磁场。

实现示例

// MFEM 中使用 RT 元
FiniteElementCollection *fec = new RT_FECollection(0, dim);  // RT0
FiniteElementSpace *fespace = new FiniteElementSpace(mesh, fec);

// 定义向量场
GridFunction u(fespace);

// 计算散度
BilinearForm *div_form = new BilinearForm(fespace);
div_form->AddDomainIntegrator(new VectorDivergenceIntegrator);

优缺点

优点：

• 自动满足散度/旋度约束
• 适合混合有限元方法
• 物理量守恒性好

缺点：

• 实现较复杂
• 自由度较多
• 需要特殊的预条件子

间断 Galerkin（DG）元

基本概念

DG 方法允许解在单元边界上间断，通过数值通量连接相邻单元。

DG 方法的特点

1. 局部性：每个单元独立，易于并行
2. 灵活性：可以使用不同阶次的多项式
3. 稳定性：自然处理对流占优问题

弱形式

考虑对流扩散方程：

$$\frac{\partial u}{\partial t} + \nabla \cdot (\mathbf{b} u) - \nabla \cdot (\epsilon \nabla u) = f$$

DG 弱形式：

$$\int_K \frac{\partial u_h}{\partial t} v_h \, dx + \int_K (\mathbf{b} u_h) \cdot \nabla v_h \, dx + \int_{\partial K} \hat{F} \cdot n v_h \, ds = \int_K f v_h \, dx$$

其中 $\hat{F}$ 是数值通量。

数值通量

对流项：

• Upwind 通量：

$$\hat{F}_{\text{upwind}} = \mathbf{b} \cdot n \, u^{\text{upwind}}$$

• Lax-Friedrichs 通量：

$$\hat{F}_{LF} = \frac{1}{2}(\mathbf{b} \cdot n (u^+ + u^-) - \alpha (u^+ - u^-))$$

扩散项：

• SIPG（Symmetric Interior Penalty）：

$$\hat{F}_{\text{SIPG}} = \{\epsilon \nabla u\} \cdot n - \sigma [u]$$

• NIPG（Non-symmetric Interior Penalty）
• BR2（Bassi-Rebay）

DG 方法的变体

1. 标准 DG：

在每个单元上使用多项式基函数。

2. HDG（Hybridizable DG）：

引入边界变量，减少全局自由度：

// MFEM HDG 示例
FiniteElementCollection *fec = new DG_FECollection(order, dim);
FiniteElementSpace *fespace = new FiniteElementSpace(mesh, fec);

3. LDG（Local DG）：

专门用于扩散问题。

实现示例

// MFEM 中使用 DG 元
FiniteElementCollection *fec = new DG_FECollection(2, dim);  // P2 DG
FiniteElementSpace *fespace = new FiniteElementSpace(mesh, fec);

// DG 对流算子
BilinearForm *conv = new BilinearForm(fespace);
conv->AddDomainIntegrator(new ConvectionIntegrator(velocity, -1.0));
conv->AddInteriorFaceIntegrator(
    new TransposeIntegrator(new DGTraceIntegrator(velocity, 1.0, -0.5)));
conv->AddBdrFaceIntegrator(
    new TransposeIntegrator(new DGTraceIntegrator(velocity, 1.0, -0.5)));

// DG 扩散算子
BilinearForm *diff = new BilinearForm(fespace);
diff->AddDomainIntegrator(new DiffusionIntegrator);
diff->AddInteriorFaceIntegrator(new DGDiffusionIntegrator(sigma, kappa));
diff->AddBdrFaceIntegrator(new DGDiffusionIntegrator(sigma, kappa));

应用场景

1. 双曲守恒律：

Euler 方程、浅水方程等：

$$\frac{\partial u}{\partial t} + \nabla \cdot F(u) = 0$$

2. 对流占优问题：

高 Peclet 数的对流扩散方程。

3. 波动方程：

声波、电磁波传播。

4. 自适应网格：

DG 方法天然支持 hp-自适应。

优缺点

优点：

• 高度局部化，易于并行
• 支持 hp-自适应
• 适合双曲问题
• 可以处理复杂几何

缺点：

• 自由度多于连续 Galerkin
• 需要选择合适的数值通量
• 条件数较大

三种元的比较

特性	Lagrange 元	H(div) 元	DG 元
连续性	全局连续	法向连续	完全间断
适用问题	椭圆、抛物	混合问题	双曲、对流占优
自由度	少	中等	多
实现难度	简单	中等	较复杂
并行性	一般	一般	优秀
守恒性	弱	强	强

实际应用建议

选择 Lagrange 元

• 标量椭圆问题（Poisson、热传导）
• 结构力学（位移场）
• 简单的抛物问题

选择 H(div) 元

• 流体力学（Darcy、Stokes）
• 电磁场（Maxwell 方程）
• 需要精确守恒的问题

选择 DG 元

• 双曲守恒律（Euler、浅水）
• 对流占优问题
• 需要局部自适应的问题
• 并行计算

总结

有限元方法提供了丰富的单元类型来适应不同的物理问题：

• Lagrange 元是最基础和通用的选择，适合大多数标量问题
• H(div) 元专门设计用于向量场，保证物理量的守恒性
• DG 元提供了最大的灵活性，特别适合双曲问题和并行计算

在实际应用中，需要根据问题的特性、精度要求和计算资源来选择合适的有限元类型。现代有限元软件（如 MFEM）提供了这些元的高效实现，使得研究者可以专注于物理问题本身。

理解这些不同有限元的特性和适用场景，是成功应用有限元方法的关键。

版权所有

版权归属：Guisong Wu

许可证：署名 4.0 国际 (CC-BY-4.0)

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